二维通道中对称剪切流的谱不稳定性

本文研究不可压缩 Navier-Stokes 方程中剪切流在雷诺数充分大（$R\to \infty$）时的谱不稳定性。物理文献中早有记载，从 Heisenberg、C.C. Lin、Tollmien 到 Drazin 和 Reid 的工作均表明，除线性 Couette 流外，一般的平面剪切剖面在雷诺数充分大时是线性不稳定的。在本文中，我们为这些物理结果提供了完整的数学证明。针对对称通道流情形，我们的分析给出了精确的不稳定特征值和特征函数，表明解可能以 $e^{t/\sqrt {\alpha R}}$ 的速率缓慢增长，其中 $\alpha$ 是介于下、上边际稳定性曲线之间的小空间频率：$\alpha_\mathrm{low}(R) \approx R^{-1/7}$ 且 $\alpha_\mathrm{up}(R) \approx R^{-1/11}$。我们引入了一种新的基于算子的方法，避免了处理内、外渐近展开的匹配问题，而是通过对相应 Rayleigh 和 Airy 算子的 Green 函数推导逐点界，从而仔细研究临界层中的奇异性。