关于带旋转的三维 Navier-Stokes 方程在库欧流附近的 Sobolev 稳定性阈值

旋转是大气和海洋中流体运动的关键特征，几乎存在于所有气象和地球物理模型中。通过科罗利力（即旋转）产生的色散效应，已建立了三维带大旋转 Navier-Stokes 方程的全局解的存在性。本文我们考察带旋转的三维 Navier-Stokes 方程中周期平面库欧流的动力学稳定性，以高雷诺数 $\mathbf{Re}$ 为目标，确定稳定性阈值指数：解保持稳定的扰动的最大范围。首先，我们检验线性化扰动系统的线性稳定性效应。将我们的结果与 Bedrossian、Germain 和 Masmoudi [Ann. Math. 185(2): 541--608 (2017)] 所得结果进行比较，我们注意到库欧流产生的混合效应（对应增强耗散和无粘滞减缓）与科罗利力作用相互作用——后者作为恢复力，导致惯性波的色散机制，抵消了零频率速度梯升效应。这种色散机制表现出不同于经典三维 Navier-Stokes 方程所观察到的有利代数衰减性质。因此，我们证明如果初始数据满足 $\left\|u_{\mathrm{in}}\right\|_{H^{\sigma}}<\delta \mathbf{Re}^{-1}$ 对任意 $\sigma>\frac{9}{2}$ 以及某个仅取决于 $\sigma$ 的 $\delta=\delta(\sigma)>0$，则三维带旋转 Navier-Stokes 方程在不脱离库欧流的情况下具有全局时间解。从这个意义上说，科罗利力作为增强流体稳定性的因素，通过将其阈值从 $\frac{3}{2}$ 提升到 1 来发挥作用。