三维库埃特流亚临界转捩附近的动力学 I：低于阈值情形

我们研究了高雷诺数 $\textbf{Re}$ 下三维不可压缩 Navier-Stokes 方程中周期性平面库埃特流的小扰动。我们证明对于大小 $\epsilon \leq c_0\textbf{Re}^{-1}$ 的足够正则初始数据（其中 $c_0 > 0$ 为某个普适常数），解是整体的，在 $L^2$ 中保持在库埃特流的 $O(c_0)$ 范围内，并且当 $t \rightarrow \infty$ 时回到库埃特流。对于时间 $t \gtrsim \textbf{Re}^{1/3}$，流向依赖性被混合增强耗散效应抑制，解迅速被吸引到称为条纹的“2.5 维”流向无关解类。我们的分析包含由于称为提升效应的代数线性不稳定性而经历动能从 $O(\textbf{Re}^{-1})$ 到 $O(c_0)$ 瞬态增长的扰动。此外，解可以表现出能量向小尺度的直接级联。该行为与二维库埃特流非常不同，后者稳定性与 $\textbf{Re}$ 无关，涡量经历直接级联，且无粘阻尼占主导（导致一种逆能量级联）。在三维中，无粘阻尼将在速度的一个分量上起作用，但主要稳定机制是混合增强耗散。证明的核心在于详细分析了混合与增强耗散的稳定效应同提升效应、涡旋拉伸以及与线性化非正规性质相关的弱非线性不稳定性的去稳定效应之间的相互作用。