具有奇异势的反应扩散方程的半流

我们研究由具有奇异平方势 $V(x)=\frac{\mu}{|x|^2}$ 的半线性抛物型方程定义的半流 $\mathcal{S}(t)$。已知 Hardy-Poincar\'{e} 不等式及其改进版本在自然相空间的定义中起着重要作用。我们的研究涉及 $0<\mu\leq\mu^*$ 的情形，其中 $\mu^*$ 是 Hardy-Poincar\'{e} 不等式的最佳常数。在 $\mathbb{R}^N$ 的有界区域上，我们证明了对于反应项 $f(s)=\lambda s-|s|^{2\gamma}s$（其中 $\lambda$ 为分岔参数），非平凡平衡解的全局分岔。利用该全局分岔结果，我们表明任何源自初始数据 $\phi_0\geq 0$（或 $\phi_0\leq 0$）且 $\phi_0\not\equiv 0$ 的解 $\phi(t)=\mathcal{S}(t)\phi_0$，均趋向于唯一的非负（或非正）平衡解。