相移的逼近与等分布：球对称性

考虑半经典哈密顿量 \begin{equation*} H_{V, h} := h^{2} \Delta + V - E \end{equation*}，其中 $h > 0$ 为半经典参数，$\Delta$ 是 $\mathbb{R}^{d}$ 上的正 Laplacian 算子，$V$ 是光滑、紧支撑的中心势函数，$E > 0$ 为能级。在此设定下，散射矩阵 $S_h(E)$ 是 $L^2(\mathbb{S}^{d-1})$ 上的酉算子，其谱位于单位圆上；此外，除 $1$ 以外谱是离散的。我们在对势函数附加某些假设的条件下证明，$S_h(E)$ 的特征值可分为两类：当 $h \to 0$ 时，数量有限（约为 $c_d (R\sqrt{E}/h)^{d-1}$，其中 $B(0, R)$ 是势函数支撑集的凸包）的特征值在单位圆上等分布，其余特征值则都非常接近 $1$。在半经典意义下，前者对应于与势函数支撑集相交从而被散射的射线，后者对应于不与支撑集相交的射线。对于障碍物为半径 $R$ 的球体的障碍物问题，也证明了类似的性质。