势散射与相移的连续性
谱理论
2015-02-27 v2 偏微分方程分析
摘要
设 S(k) 是 ℝn 上具有紧支撑光滑势的薛定谔算子（拉普拉斯算子加势）的散射矩阵。众所周知，S(k) 是酉矩阵，且 S(k) 的谱仅在 1 处聚集于单位圆上；此外，S(k) 解析地依赖于 k，因此只要其值远离 1，其特征值就解析地依赖于 k。我们给出了 ℝn 上光滑、紧支撑势的例子，对于这些例子：(i) 散射矩阵 S(k) 对任何 k > 0 都不以 1 为特征值；(ii) 存在 k0 > 0，使得 S(k) 有一个解析特征值分支 e^{2iδ(k)}，当 k ↓ k0 时收敛于 1。这表明，作为 k 的函数，散射矩阵的特征值不一定具有到值 1 或跨越值 1 的连续延拓。特别地，这表明 R. Newton 在 1989 年的一篇论文中声称的关于 ℝ3 中非中心势的“微 Levinson 定理”是不正确的。
引用
@article{arxiv.1112.3413,
title = {Potential scattering and the continuity of phase-shifts},
author = {Jesse Gell-Redman and Andrew Hassell},
journal= {arXiv preprint arXiv:1112.3413},
year = {2015}
}
备注
10 pages, 2 figures. Corrections made following suggestions of referee. Acknowledgements added