障碍散射中相移的均匀分布

对于具有正曲率的光滑严格凸障碍物 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 的散射，我们证明散射矩阵的特征值——即相移——随着频率 $k \to \infty$ 在单位圆上均匀分布，速率与 $k^{d-1}$ 成正比，前提是内部台球映射的闭合轨道集满足标准条件。确实，在不包含 1 的任何扇区 $S \subset \mathbb{S}^1$ 中，对于大 $k$ 有 $c_d |S| \mathrm{Vol}(\partial \Omega)\ k^{d - 1} + o(k^{d-1})$ 个特征值，其中 $c_d$ 仅依赖于维度的常数。利用这一结果、狄利克雷特征值计数函数的两项渐近展开以及 Eckmann-Pillet 的谱对偶性结果，我们给出了 Majda-Ralston 总散射相位两项渐近的另一种证明。