具有多项式衰减的半经典势的相移分布

这是分析半经典极限下相移渐近分布系列文章的第三篇。我们分析了在 $\mathbb{R}^d$ 上的半经典薛定谔算子的相移分布，或等价地，散射矩阵 $S_h(E)$ 的特征值分布；这些算子是自由哈密顿量被具有多项式衰减的势 $V$ 扰动而成。我们的假设是，对于某个 $\alpha > d$，当 $x \to \infty$ 时 $V(x) \sim |x|^{-\alpha} v(\hat x)$，并具有相应的导数估计。在半经典极限 $h \to 0$ 下，我们证明由这些特征值在单位圆上定义的原子测度，经过关于 $h$ 的适当缩放后，趋于 $\mathbb{S}^1$ 上的一个测度 $\mu$。此外，$\mu$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} = \mathbb{S}^1$ 的、依赖于维数 $d$ 和势函数衰减率 $\alpha$ 的 $\beta$ 阶齐次分布 $\nu$ 的前推。作为推论，我们得到了 $\mathbb{S}^1$ 的一个扇区内相移聚集的渐近公式。证明依赖于将第二作者与 Wunsch 关于经典哈密顿动力学和半经典泊松算子的结果推广到本文所考虑的势类。