关于传播的 Schrödinger 本征函数扰动分布的研究

设 $(M,g_0)$ 为维度 $n$ 的紧致 Riemann 流形。令 $P_0 (\h) := -\h^2\Delta_{g}+V$ 为 $\h \in (0,\h_0]$ 的半经典 Schrödinger 算子，并设 $E$ 为其主符号 $p_0(x,\xi)=|\xi|^2_{g_0(x)} +V(x)$ 的正则值。记 $\varphi_\h$ 为 $P(\h)$ 的 $L^2$ 归一化本征函数，满足 $P_0(\h)\varphi_\h =E(\h)\varphi_\h$ 且 $E(\h) \in [E-o(1),E+ o(1)]$。考虑 $g_0$ 的光滑扰动族 $g_u$，其中 $u$ 位于半径 $\varepsilon>0$ 的球 $\mathcal B^k(\varepsilon) \subset \mathbb R^k$ 中。对于 $P_{u}(\h) := -\h^2 \Delta_{g_u} +V$ 和小的 $|t|$，我们定义传播的扰动本征函数 $$\varphi_\h^{(u)}:=e^{-\frac{i}{\h}t P_u(\h)} \varphi_\h.$$ 我们将扰动本征函数的实部视为随机变量 $$\Re (\varphi^{(\cdot)}_\h(x)):\mathcal B^{k}(\varepsilon) \to \mathbb R \quad \quad \text{for}\;\, x\in M$$ 并研究其分布。特别是，当 $(M,g)$ 为遍历系统时，我们计算了方差 $\text{Var} [\Re (\varphi^{(\cdot)}_\h(x))]$ 在 $h \to 0^+$ 时的渐近行为，并表明所有奇数矩在 $h \to 0^+$ 时趋于零。