随机扰动下的特征向量：一种非渐近瑞利-薛定谔理论

瑞利-薛定谔微扰理论是量子力学中著名的理论，它为扰动矩阵的特征向量提供了有用的刻画。假设 $A$ 与扰动 $E$ 均为厄米矩阵，$A^t = A + tE$，$\{\lambda_j\}_{j=1}^n$ 为 $A$ 的降序特征值，$u_1, u^t_1$ 分别为 $A$ 与 $A^t$ 的主特征向量。瑞利-薛定谔理论渐近地表明，当 $t = o(1)$ 时，$\langle u^t_1, u_j \rangle \propto t / (\lambda_1 - \lambda_j)$。然而，该渐近理论不适用于较大的 $t$；特别地，当 $t \| E \|_2 > \lambda_1 - \lambda_2$ 时它失效。本文提出一种以 $E$ 为随机矩阵的非渐近理论。我们证明，当 $t = 1$ 且 $E$ 的对角线上方元素为独立、零均值亚高斯变量时，在高概率意义下，在涉及所有谱隙 $\lambda_1 - \lambda_j$ 的 $A$ 特征值条件下，对所有 $j>1$ 同时有 \begin{equation*} | \langle u^1_1, u_j \rangle | = O(\sqrt{\log n} / (\lambda_1 - \lambda_j)), \end{equation*} 该界即使当 $\| E \|_2 \gg \lambda_1 - \lambda_2$ 时也成立。结果是最优的，除一个对数项外。它还改进了 Davis-Kahan 定理。