Allen-Cahn 方程吸引子维数的尖锐估计与变化

我们考虑有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 中的半线性反应扩散方程 $\partial_t\phi-\nu\Delta\phi-V(x)\phi+f(\phi)=0$，其中 $\nu>0$。假设非线性项为标准的 Allen-Cahn 型，而势函数 $V$ 要么是逆平方势 $V(x)=\delta |x|^{-2}$，要么是临界势 $V(x)=\delta \mathrm{dist}(x,\partial\Omega)^{-2}$，$\delta\geq 0$（因此当 $\delta=0$ 时包含了经典的 Allen-Cahn 方程作为特例）。在次临界情形 $\delta=0$，$N\geq 1$ 以及 $0<\mu:=\frac{\delta}{\nu}<\mu^*$，$N\geq 3$（其中 $\mu^*$ 是 Hardy 不等式及 Hardy 型不等式的最佳常数）下，我们给出了全局吸引子维数的新估计。该估计源于 A. D. Melas (Proc. Amer. Math. Soc. \textbf{131} (2003), 631-636) 改进的 Laplacian 特征值和的下界。该估计是尖锐的，揭示了存在一个（明确给出的）阈值，即区域 $\Omega$ 的体积与转动惯量之比，超过该阈值吸引子的维数可能会发生显著变化。文章还讨论了临界情形 $\mu=\mu^*$ 下全局吸引子的有限维性。