分次理想幂的饱和数

设 $S=K[x_1,\ldots,x_n]$ 为域 $K$ 上 $n$ 个变量的多项式环，其极大理想为 $\frak{m}=(x_1,...,x_n)$，并设 $I$ 为 $S$ 的分次理想。本文定义 $I$ 的饱和数 $\sat(I)$ 为最小非负整数 $k$ 使得 $I:\mm^{k+1}= I:\mm^k$。我们证明若 $I$ 为单项理想，则 $f(k)$ 被线性界定，且对 $k\gg 0$ 而言 $f(k)$ 为拟线性函数。进一步，我们证明若 $I$ 为主 Borel 理想则 $\sat(I^k)=k$，并证明 $\sat(I_{d,n}^k) =\max\{l\:\; (kd-l)/(k-l) \leq n\},$ 其中 $I_{d,n}$ 为在次数 $d$ 生成的无平方 Veronese 理想。