各向异性非局部能量的平衡测度

本文刻画了定义在 $\R^n$ ($n\geq 3$) 上概率测度的一族单参数非局部且各向异性能量 $I_\alpha$ 的极小元。能量 $I_\alpha$ 由一个纯非局部的卷积型项与一个二次约束项构成，其中卷积项的交互核在 $\alpha=0$ 时退化为库仑势，否则为各向异性。二维情形出现在金属缺陷研究中，已由作者借助复分析技术解决。我们证明对于 $\alpha\in (-1, n-2]$， $I_\alpha$ 的极小元唯一且为旋转椭球的（归一化）特征函数。该结果是核的各向异性对极小元形状作用的范例。特别地，在 $n=2$ 维观察到的维数丢失现象，在更高维对应于交互势傅里叶变换变号的值 $\alpha=n-2$ 处不再发生。