各向异性非局部相互作用方程的平衡态：分析与数值

本文研究一类具有非线性扩散、不具备梯度流结构的各向异性非局部聚集方程的平衡态。此处各向异性由底层张量场诱导。各向异性力一般不能与势函数相关联，且各向异性聚集方程的平稳解通常不能视为能量泛函的极小元。我们在空间齐次张量场情形下推导了平稳线模式的平衡条件。该平稳解可视为依赖于标量势的正则化能量泛函的极小元。从二维到一维的降维使我们能够研究相应的一维问题以替代二维情形。我们建立了当扩散系数趋于零时正则化能量泛函的 $\Gamma$-收敛，并证明了正则化能量泛函的极小元收敛到非正则化能量泛函的极小元。此外，基于已知的一维空间结果，我们研究了环面上平稳解的性质。最后，我们证明了针对任意底层张量场、具有非线性扩散的各向异性非局部聚集方程数值解的数值格式的弱收敛性，并展示了数值结果。