某些非局部各向异性能量的显式极小元：一个简短证明
经典分析与常微分方程
2021-08-11 v2 偏微分方程分析
摘要
在本文中，我们考虑平面上定义于概率测度上的非局部能量，由一个卷积相互作用项加二次约束项给出。相互作用核为 -log|z|+α x^2/|z|^2, z=x+iy，其中 -1 < α < 1。除库仑情形α=0外，该核是各向异性的。我们给出了已知惊人事实的一个简短紧凑证明：该能量的唯一极小元是半长轴为√(1-α)、半短轴为√(1+α)的椭圆所围区域的归一化特征函数。令α → 1^-，我们发现垂直轴上的半圆律是相应能量的唯一极小元，这一与相互作用位错相关的结果此前已由本文部分作者得到。我们将本文前两节用于以尽可能简单的方式呈现一些众所周知的背景材料，以使不熟悉该主题的读者能够理解证明。
引用
@article{arxiv.2003.13776,
title = {Explicit minimisers of some nonlocal anisotropic energies: a short proof},
author = {J. Mateu and M. G. Mora and l. Rondi and L. Scardia and J. Verdera},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.13776},
year = {2021}
}
备注
17 pages, minor modifications after referee's report