哑鸭：R^3 中强鸭环的存在性

在本文中，我们给出了 $\mathbb R^3$ 中慢-快系统通过 II 型折叠鞍结和奇异 Hopf 分岔产生鸭极限环的严格描述。特别地，我们证明——仅在解析情形下——对所有 $0<\epsilon\ll 1$，存在一族周期轨道，诞生于（奇异）Hopf 分岔并延伸至 $\mathcal O(1)$ 环，这些环跟随折叠鞍结的强鸭。我们的结果可视为 $\mathbb R^2$ 中鸭爆炸的推广，但与平面情形相反，$\mathbb R^3$ 中的周期轨道族并非爆炸性的。为此原因，我们选择将 $\mathbb R^3$ 中的现象称为“哑鸭”（dud canard）。证明的主要困难在于将 Hopf 环与鸭环连接起来，因为它们在不同尺度下被描述。如同在 $\mathbb R^2$ 中，我们使用吹胀（blowup）来克服这一点，但我们还必须补偿 Hopf 分岔附近由于缺乏一致性带来的问题，这源于其奇异本性；在极限 $\epsilon=0$ 下它是零-Hopf 分岔。在本文中，我们通过施加向量场的解析性来实现这一点。这使我们能够证明一个不变慢流形的存在性，该流形不是正规双曲的。