从折叠奇点的鸭式解到受迫 van der Pol 方程中的环面鸭式解
动力系统
2016-01-20 v1
摘要
我们研究了受迫 van der Pol (fvdP) 方程在弛豫极限下，针对低频、中频和高频周期激励的鸭式 (canard) 解。一个核心的数值观察结果是，参数空间中存在两个鸭式分支，它们跨越所有正激励频率延伸。对于低频激励，我们证明了由 I 型折叠鞍节点诱导的主极大鸭式解的存在性，并建立了主极大鸭式解及其折叠存在时的参数值的显式公式。随后，我们转向中频和高频激励机制，表明 fvdP 方程拥有的是环面鸭式解。这些环面鸭式解由快系统吸引和排斥极限周期族附近的长段交替组成。我们还推导了极大环面鸭式解及其折叠存在时的参数值的显式公式。主极大鸭式解和极大环面鸭式解在几何上对应于这样一种情况：吸引极限周期族附近的持久流形与排斥极限周期族附近的持久流形在所有阶次上重合。在所有三个频率机制中推导出的极大鸭式解折叠公式，被证明是适当参数机制下单一公式的表示，这种统一证实了我们的数值观察。此外，我们研究了低频机制中由折叠奇点诱导的次级鸭式解，发现其折叠曲线在中频机制中发生回转。我们确定了导致这种回转的机制。最后，我们表明 fvdP 方程是一类单频周期驱动慢/快系统的正规形，该系统具有两个快变量和一个慢变量，并拥有非退化的极限周期折叠。
引用
@article{arxiv.1504.03970,
title = {From Canards of Folded Singularities to Torus Canards in a Forced van der Pol Equation},
author = {J. Burke and M. Desroches and A. Granados and T. J. Kaper and M. Krupa and T. Vo},
journal= {arXiv preprint arXiv:1504.03970},
year = {2016}
}
备注
37 pages, 13 figures