奇异Hopf分支的稳定性及其应用

近年来，对多尺度系统复杂周期行为的研究日益流行。Krupa等人\cite{krupa2}提供了一种通过奇异Hopf分支和canard爆炸在快慢系统中获得松弛振荡的方法。作者推导了第一Lyapunov系数的$O(1)$表达式$A$（在$A \neq 0$条件下），并推导了奇异Hopf分支和canard爆炸的分支曲线。本文采用Blow-up技术、规范型理论和Lyapunov系数公式，给出了快慢系统在$A=0$时第一Lyapunov系数的高阶近似表达式。作为应用，我们研究了一个具有Allee效应的捕食-被捕食模型的分支现象。利用本文得到的公式，我们识别了系统中可能同时发生的超临界和亚临界Hopf分支。数值模拟验证了结果。最后，通过规范型和慢散度积分理论，我们证明了该系统的环量为1。