关于 $\mathbb R^3$ 中折叠结点的叉形分岔及其他无界时间可逆连接问题

在本文中，我们重访折叠结点以及在共振 $\mu\in \mathbb N$ 处次级叶状曲线的分岔。特别地，我们首次证明叉形分岔在所有偶数 $\mu$ 处发生。我们的方法依赖于 \cite{wechselberger2002a} 中时间可逆版本的 Melnikov 方法，该方法在 \cite{wechselberger_existence_2005} 中被用于证明所有奇数 $\mu$ 处的跨临界分岔。已知由跨临界分岔和叉形分岔产生的次级叶状曲线，对于所有 $0<\epsilon\ll 1$，仅到达每个跨临界分岔一侧的 Fenichel 慢流形。在本文中，我们基于正规形的对称性和对折叠线的分别吹胀，为这一事实提供了新的几何解释。我们还表明，我们用于计算折叠结点 Melnikov 积分的方法——基于用高阶变分方程对不变流形进行局部刻画并将其化为非齐次 Weber 方程——适用于 $\mathbb R^3$ 中一般的、二次的、时间可逆的无界连接问题。我们在文末利用我们的方法给出了 Falkner-Skan 方程和 Nos\'e 方程中从无穷远处分岔出周期轨道的新证明。