对称势中非线性薛定谔方程的对称破缺分岔

我们考虑聚焦（吸引）非线性薛定谔（NLS）方程，其中包含一个外部对称势，该势在无穷远处消失并支持一个线性束缚态。我们证明，如果势在零点具有非退化局部极大值，则对称非线性基态必然经历对称破缺分岔。在一般性假设下，我们证明该分岔是亚临界或超临界叉形分岔。在具有大分离度的双阱势的特殊情况下，非线性幂次决定了分岔的亚临界或超临界特性。这些结果是通过对基态在相应特征值参数的小值和大值下的谱性质进行仔细分析而获得的。我们采用了一种结合集中紧致性和线性化薛定谔型算子谱性质的新技术，以证明对称基态要么可以在整个特征值参数区间上唯一延拓，要么由于线性化算子的第二特征值穿过零点而经历对称破缺叉形分岔。此外，我们证明了在特征值参数大值极限下稳态的适当标度。该标度及我们的新技术表明，大特征值下的所有基态必须局域在势的临界点附近，并从局域在同一点的、无势聚焦 NLS 方程的孤立子分岔而来。对于通过分裂单阱势获得的双阱势，我们用数值方法说明了理论结果。我们比较了分裂前后的情况，并数值研究了超出我们理论工具范围的基态的分岔和稳定性性质。