全阶 Melnikov 理论与次谐波解的 Puiseux 级数

我们研究了平面上解析系统的次谐波分岔问题，该系统具有依赖于时间的周期扰动，且仅假设次谐波 Melnikov 函数至少有一个零点。如果零点的阶数是奇数，则总是存在至少一个次谐波解；而如果阶数是偶数，通常需要假设其他条件以保证次谐波解的存在。即使此类解存在，它们通常也不是关于扰动参数的解析函数。我们证明它们是关于扰动参数的分数幂解析的。为了获得一个完全构造性的算法，该算法不仅能证明存在性，还能给出解析半径的界并在任意固定精度内逼近解，我们需要进一步的假设。当可行时，我们构造解的方法基于 Newton-Puiseux 算法与树形式主义的结合。这导致了用图表示的解的图形化表示。最后，如果次谐波 Melnikov 函数恒为零，我们证明可以引入高阶推广，并对之进行同类分析。