关于光滑与分段光滑平面系统中 Melnikov 混沌的若干贡献："未来混沌的轨迹"

我们考虑一个受 1-周期扰动的二维自治系统，即 $\dot{\vec{x}}=\vec{f}(\vec{x})+\epsilon\vec{g}(t,\vec{x},\epsilon),\quad \vec{x}\in\Omega$。我们假设当 $\epsilon=0$ 时存在一条同宿于原点的轨迹 $\vec{\gamma}(t)$，该原点是一个临界点：在此背景下，Melnikov 理论为 $\epsilon \ne 0$ 时混沌模式的出现提供了一个充分条件。本文证明，对于任意与 $\{\vec{\gamma}(t) \mid t \in \mathbb{R} \}$ 横截的直线 $\Xi$ 和任意 $\tau \in [0,1]$，我们都可以找到一组初始条件集合 $\Sigma^+(\Xi,\tau)$，其产生的模式仅在将来是混沌的，位于 $\Xi$ 上 $t=\tau$ 处。进一步有 $\text{diam}(\Sigma^+(\Xi,\tau)) \le \epsilon^{(1+\nu)/ \underline{\sigma}}$，其中 $\underline{\sigma}>0$ 为常数，$\nu>0$ 为可任意选取的参数。对于产生仅在过去的混沌模式的初始条件集合 $\Sigma^-(\Xi,\tau)$，同样的结果也成立。事实上，所有结果均在分段光滑框架下发展，假设 $\vec{0}$ 位于不连续曲线 $\Omega^0$ 上：我们回顾在此设定下，若原点附近存在滑动现象则混沌是不可能的。本文也可被视为证明在原点附近无滑动现象时经典混沌现象存在性的项目的第一部分。