分段光滑平面系统中的 Melnikov 混沌新构造

本文考察分段光滑二维系统 $$\dot{\vec{x}}=\vec{g} (\vec{x})+\varepsilon\vec{g}(t,\vec{x},\varepsilon)$$，其中 \varepsilon>0 为小参数，\vec{f} 在曲线 \Omega^0 上不连续。我们假设 \vec{0} 为任意 \varepsilon \geq 0 的临界点，且当 \varepsilon=0 时，系统 admits 一个轨迹 \vec{\gamma}(t) homoclinic 到 \vec{0} 并在 \vec{\gamma}(0) 处垂直穿越 \Omega^0。先前我们已证明，在 n 维情形下，经典 Melnikov 条件足以保证在扰动下 homoclinic 的持久性，但近期我们发现存在开放条件——即几何性违背——其在光滑情形下不可实现，此乃防止二维系统在 \vec{g} 周期为 t 时出现混沌的关键因素。本文表明，若消除此违背，则可获得光滑情形下的混沌。证明涉及从 chaotic pattern 来源处构建集合 \Sigma 的新方法。结果通过示例予以说明。