形变厄米特-杨-米尔斯方程与调和多项式的水平集

设 $v(x,y):\mathbb C\rightarrow \mathbb R$ 是一个在整个复平面上定义的调和多项式，且在右半平面内无临界点。令 $z_1, z_2\in\mathbb C$ 位于 $v$ 的一个水平集上，并假设 ${\rm Re}(z_2)>{\rm Re}(z_1)\geq0$。我们给出了一个仅依赖于多项式 $v$ 的代数性质的充要条件，用以判定何时存在光滑实函数 $f$，其图像 $x+if(x)$ 位于 $v$ 的某条连接 $z_1$ 与 $z_2$ 的水平曲线上。受几何不变理论（GIT）启发，我们在适当的函数空间上构造了一个 Kempf-Ness 泛函，并证明该泛函有下界且真（proper）当且仅当这样的图像存在。作为一个应用，我们在具有 Calabi 对称性的射影丛族 $X_{r,m}:=\mathbb P(\mathcal O_{\mathbb P^m}\oplus \mathcal O_{\mathbb P^m}(-1)^{\oplus (r+1)})$ 上，找到了等价于形变厄米特-杨-米尔斯方程解存在的稳定性条件。