形变 Hermitian--Yang--Mills 方程、Positivstellensatz 与可解性

设 $(M, \omega)$ 为复维数四的紧连通 K"ahler 流形，且 $[\chi] \in H^{1,1}(M; \mathbb{R})$。我们证实了 Collins--Jacob--Yau [arXiv:1508.01934] 关于形变 Hermitian--Yang--Mills方程可解性的猜想，该方程由如下非线性椭圆方程 $\sum_{i} \arctan (\lambda_i) = \hat{\theta}$ 给出，其中 $\lambda_i$ 是 $\chi$ 相对于 $\omega$ 的特征值，$\hat{\theta}$ 为拓扑常数。该猜想陈述于 [arXiv:1508.01934]，其中他们证明了当存在超临界 $C$-子解，或当 $\hat{\theta} \in [ ( (n-2) + {2}/{n} ) {\pi}/{2}, n\pi/2 )$ 时存在 $C$-子解，将给出形变 Hermitian--Yang--Mills 方程的可解性。Collins--Jacob--Yau 猜想其存在性定理在 $\hat{\theta} \in ( (n-2 ) {\pi}/{2}, ( (n-2) + {2}/{n} ) {\pi}/{2} )$ 时可改进，其中 $n$ 为流形的复维数。本文中，我们证实了他们的猜想：当复维数等于四且 $\hat{\theta}$ 从右侧接近超临界相 $\pi$ 时，存在 $C$-子解意味着形变 Hermitian--Yang--Mills 方程的可解性。