有理齐次簇上的形变 Hermite-Yang-Mills 方程

本文中，我们证明配备任意不变 Kähler 度量的有理齐次簇上的形变 Hermite-Yang-Mills（dHYM）方程总存在解。特别地，我们借助李理论描述了任意不变 $(1,1)$-形式的 Lagrangian 相位（关于任意不变 Kähler 度量）。在此基础上，我们利用与底层复单李代数相关的 Cartan 矩阵刻画了 dHYM 方程的所有超临界和极临界齐次解。进一步，我们给出了有理齐次簇上全纯向量丛斜率的显式李理论公式。利用该公式，我们通过全纯向量丛到关联曲线锥生成元的限制导出了斜率半稳定性的新判据。此外，我们给出了基于有理曲线定义的中心电荷来刻画有理齐次簇上全纯向量丛斜率（半）稳定性的新表征。作为主结果的应用，我们描述了由 Wallach 旗流形 ${\mathbb{P}}(T_{{\mathbb{P}^{2}}})$ 定义的 Fano 三维流形上 dHYM 方程的所有超临界和极临界齐次解。另外，我们引入了一种构造方法，从线性丢番图方程的解出发，在 ${\mathbb{P}}(T_{{\mathbb{P}^{2}}})$ 上某些全纯向量丛上获得非平凡的 Hermite-Einstein 度量实例。在最后这种情况中，我们显式描述了所有关联的 Hermite-Yang-Mills 瞬子。我们也提出了一些探索交理论与数论之间相互作用的新见解。