矩映射、非线性 PDE 与镜像对称中的稳定性

我们从变分观点研究形变 Hermitian-Yang-Mills(dHYM)方程,该方程镜像于特殊拉格朗日方程,通过无穷维 GIT 问题实现,此问题镜像于 Thomas 关于特殊拉格朗日的 GIT 图像。这产生了无穷维流形 $\mathcal{H}$,镜像于 Solomon 的正拉格朗日空间。在超临界相位情形,我们证明存在光滑近似测地线,以及具有 $C^{1,\alpha}$ 正则性的弱测地线。这是通过证明带边界的坍缩流形上拉格朗日相位算子的尺度尖锐估计实现的。我们将这些结果应用于形变 Hermitian-Yang-Mills 的无穷维 GIT 问题。我们将代数不变量关联到 $X\times \Delta$ 的某些双有理模型,其中 $\Delta \subset \mathbb{C}$ 为圆盘。利用正则弱测地线的存在性,我们证明这些不变量给出了 dHYM 方程解存在性的障碍。此外,我们表明这些不变量契合一个与 Bridgeland 稳定性密切相关的稳定性框架。最后,我们在环面 K"ahler 流形上使用 Fourier-Mukai 变换来描述 Landau-Ginzburg 模型 $(Y,W)$ 的 SYZ 环面丛的拉格朗日子截面的退化。我们推测由此产生的代数不变量,并讨论将 Bridgeland 稳定性与 $(Y,W)$ 的特殊拉格朗日子截面存在性相关联的含义。