约化交错链环的辫指数

众所周知，交错链环的最小交叉数等于该链环任意约化交错链环图中的交叉数。这一显著结果是Jones多项式的应用。对于交错链环的辫指数，Murasugi曾猜想链环的约化交错图中Seifert圈的数目等于链环的辫指数。该猜想被证明是错误的。在本文中，我们证明了人们所能期望的次优结论：我们精确刻画了那些辫指数等于其相应约化交错链环图中Seifert圈数目的交错链环。更具体地说，我们证明如果$D$是交错链环$L$的约化交错链环图，则$b(L)$（$L$的辫指数）等于$D$中Seifert圈的数目，当且仅当$G_S(D)$不包含权为1的边。这里$G_S(D)$称为$D$的Seifert图，是一个边加权简单图，通过将$D$的每个Seifert圈识别为$G_S(D)$的一个顶点得到，使得$G_S(D)$中两个顶点由边相连当且仅当对应的两个Seifert圈在$D$中共享交叉，且边的权为这两个Seifert圈之间交叉的数目。该结果部分基于著名的MFW不等式（其指出$L$的HOMFLY多项式的$a$-跨度是$2b(L)-2$的下界）以及Yamada的一个结果（其指出$L$所有链环图中Seifert圈的最小数目等于$b(L)$）。