闭辫形式的链环的HOMFLY多项式

众所周知，任何链环都可以由辫子的闭包表示。表示一个给定链环的辫子所需的最小串数称为该链环的辫指数，而著名的Morton-Frank-Williams不等式揭示了链环的HOMFLY多项式与其辫指数之间的密切关系。当一个链环已经以闭辫形式给出时，Jaeger推导了HOMFLY多项式的一种特殊公式。在本文中，我们证明了Jaeger结果的一个变体及其对偶版本。与Jaeger依赖于表示论的原论证不同，我们的证明仅使用初等的几何与组合观察。利用我们的变体及其对偶版本，我们给出了一个直接且初等的证明：对于一个具有$n$串闭辫图且同时为约化且交错的链环，其辫指数恰好为$n$。此前这一事实仅作为Murasugi关于纤维链环（作为初等环面链环的星积）的结果以及交错辫子是纤维辫这一事实的推论而为人所知。