SL_2(Z[1/m])的交换化
K理论与同调
2024-01-17 v1 群论
摘要
对于所有m≥1，我们证明了SL_2(Z[1/m])的交换化为：(1) 若6|m，则为平凡群；(2) 若2|m且gcd(3,m)=1，则为Z/3Z；(3) 若3|m且gcd(2,m)=1，则为Z/4Z；(4) 若gcd(6,m)=1，则为Z/12Z ≅ Z/3Z × Z/4Z。这完善了Bui Anh和Ellis对m≤50的已知计算结果。证明完全是初等的，特别地，不涉及同余子群性质。我们还找到了SL_2(Z[1/2])的一个新表示。该表示有两个生成元和三个关系。因此，SL_2(Z[1/2])有一个亏格等于其Schur乘子秩的表示。这也给出了有限群SL_2(Z/mZ)（其中m为奇数）的新的且非常简单的表示。
引用
@article{arxiv.2401.08146,
title = {The abelianization of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}[\frac{1}{m}])$},
author = {Carl-Fredrik Nyberg-Brodda},
journal= {arXiv preprint arXiv:2401.08146},
year = {2024}
}
备注
3 pages. Comments welcome!