关于$SL(m, \mathbb{Z}_n)$在环$\mathbb{Z}^m_n$上作用的一个注记

我们知道，对于素数$n$，$\mathbb{Z}_n$是一个有限域。设$m,n$为任意自然数，令$\mathbb{Z}^m_n= \mathbb{Z}_n \times\mathbb{Z}_n\times...\times\mathbb{Z}_n$为$m$个环$\mathbb{Z}_n$的笛卡尔积。在本注记中，我们展示了$SL(m, \mathbb{Z}_n)=\{A \in \mathbb{Z}^{m,m}_{n} : det A \equiv 1 (mod\simn)\}$在环$\mathbb{Z}^m_n$上的作用，其中对于$n\geq 2$，$SL(m, \mathbb{Z}_n)$是在模$n$矩阵乘法下的群；该作用定义为用$SL(m, \mathbb{Z}_n)$的矩阵右乘$\mathbb{Z}^m_n$的行向量，以确定环$\mathbb{Z}^m_n$的轨道。这项工作是对文献 [1] 的扩展。