关于单位向量的 Spin 轨道的若干注记

对于 $n \in \mathbb{N}$ 以及满足 $2 \in R^{\times}$ 的交换环 $R$，群 $SL_n (R)$ 作用于长度为 $n$ 的单模向量集合 $Um_n (R)$ 上，而 $Spin_{2n}(R)$ 作用于单位向量集合 $U_{2n-1}(R)$ 上。我们给出一个环的例子，使得比较映射 $Um_n (R)/SL_n (R) \rightarrow U_{2n-1}(R)/Spin_{2n}(R)$ 不是双射。