交换环理想的等价生成对

设 $R$ 为带单位元的交换环，$I$ 为 $R$ 的二生成理想。记 $\operatorname{SL}_2(R)$ 为 $R$ 上行列式为 $1$ 的 $2 \times 2$ 矩阵构成的群。我们研究 $\operatorname{SL}_2(R)$ 通过矩阵右乘作用于 $\operatorname{V}_2(I)$（$I$ 的生成对集合）上的作用。记 $\operatorname{Fitt}_1(I)$ 为 $I$ 的第二个 Fitting 理想。我们的主要结果表明：若 $I$ 可由两个正则元生成，则 $\operatorname{V}_2(I)/\operatorname{SL}_2(R)$ 通过行列式的自然推广同构于 $R/\operatorname{Fitt}_1(I)$ 的一个单位群。该结果在若干 Bass 环中得以阐明，对这些环我们也证明了对于任意 $n > 2$，$\operatorname{SL}_n(R)$ 在 $\operatorname{V}_n(I)$ 上传递作用。作为一个应用，我们推导了二次序上模群尖点数的公式。