整群环中单位的阿贝尔化与不动点性质

设$G$为有限群，$\mathcal{U} (\mathbb{Z} G)$为整群环$\mathbb{Z} G$的单位群。我们证明了一个单位定理，即刻画$\mathcal{U}(\mathbb{Z}G)$何时满足Kazhdan性质$(\operatorname{T})$，既通过有限群$G$也通过半单代数$\mathbb{Q}G$的单分量。此外，我们证明对$\mathcal{U}( \mathbb{Z} G)$而言，该性质等价于较弱的性质$\operatorname{FAb}$（即每个有限指数子群具有有限阿贝尔化），特别地也等价于Serre性质$\operatorname{FA}$的一个遗传版本，记为$\operatorname{HFA}$。更确切地说，我们描述了$\mathcal{U} (\mathbb{Z} G)$中何时所有有限指数子群同时具有有限阿贝尔化且不是非平凡 amalgamated 积。为此的一个关键步骤是归约到算术群$\operatorname{SL}_n(\mathcal{O})$（其中$\mathcal{O}$是有限维半单$\mathbb{Q}$-代数$D$中的一个阶）以及具有所谓割性质的有限群$G$。对这类群$G$，我们描述了$\mathbb{Q} G$的单满射像。单位定理的证明从根本上依赖于不动点性质以及$\operatorname{SL}_n(D)$中初等子群$\operatorname{E}_n(D)$的阿贝尔化。这些群除低秩退化情形外已被充分理解，即$\operatorname{SL}_2(\mathcal{O})$，其中$\mathcal{O}$是除代数$D$中单位数有限的阶。在此情形下，我们确定了$\operatorname{E}_2(\mathcal{O})$及其有限指数子群的Serre性质FA。我们构造了一个描述其阿贝尔化的通用可计算正合序列，给出了其$\mathbb{Z}$-秩的闭公式。