邻近子群的变形与近似 Jordan 常数

设 $\mathbb{U}$ 为 Banach Lie 群，$S\subseteq \mathbb{U}$ 为 ad 有界子集，即其在 $\mathbb{U}$ 的李代数上诱导的余算子有统一界限。我们证明：(1) $S$ 值连续从紧致群到 $\mathbb{U}$ 的映射只要足够接近态射，就在均匀意义上接近态射；(2)对于任意 Lie 子群 $\mathbb{G}\le \mathbb{U}$，存在包含单位元的邻域 $U\ni 1\in \mathbb{U}$，使得 $\mathbb{G}\cdot U\cap S$ 值态射(嵌入)从紧致群到 $\mathbb{U}$ 在均匀意义上接近态射(分别嵌入)到 $\mathbb{G}$。这恢复并推广了 Turing 的结果，即(a)可由有限子群逼近的 Lie 群具有阿贝尔单位分量；(b)如果 Lie 群可通过此类方式逼近且拥有忠实的 $d$ 维表示，则其同样可由具有相同性质的有限子群逼近。另一个推论是强化了先前结果，即在 Banach Lie 群中足够接近给定紧致子群的有限子群在其最小正规阿贝尔子群指数上具有有限上界（Jordan 定理的近似版本）。