通过作为 amalgamated 乘积的高阶模群对整群环的二分性

我们证明，当 $G$ 是满足某些温和条件的有限群时，整群环 $\mathbb{Z} G$ 的单位群 $\mathcal{U}(\mathbb{Z}G)$ 要么满足 Kazhdan 性质 (T)，要么在可公度意义下是一个非平凡的 amalgamated 乘积。证明的关键在于构造初等群 $\operatorname{E}_2(\mathcal{O})$ 的 amalgamated 分解，其中 $\mathcal{O}$ 是有理除代数中的阶。一个主要步骤是在所谓的高阶模群 $\operatorname{SL}_+(\Gamma_n(\mathbb{Z}))$ 中引入子群 $\operatorname{E}_2(\Gamma_n(\mathbb{Z}))$，它们是某些以 Clifford 代数为元素的 $2 \times 2$ 矩阵群的离散子群。群 $\operatorname{E}_2(\Gamma_n(\mathbb{Z}))$ 模仿了环上线性群中的初等群。我们证明 $\operatorname{E}_2(\Gamma_n(\mathbb{Z}))$ 通常具有作为以 $\operatorname{E}_2(\Gamma_{n-1}(\mathbb{Z}))$ 为 amalgamated 子群的自由积的非平凡分解。由此我们得到，高阶模群在低维情形也确实具有结构清晰的 amalgam 分解。