非线性 Black--Scholes 方程的对称约化与精确解

在本文中，我们研究非线性 Black--Scholes 方程：$$u_t+ax^2u_{xx}+bx^3u_{xx}^2+c(xu_x-u)=0,\quad a,b>0,\ c\geq0.$$ 并表明通过适当的变量点变换可将其约化为方程 $$u_t+(u_{xx}+u_x)^2=0$$。对于所得方程，我们研究其群论性质，即找到其在 Lie 意义下的最大不变代数，进行对称约化并寻求该方程的若干精确群不变解。利用所获得的结果，我们得到了所研究 Black--Scholes 方程的若干精确解，并将这些解应用于求解几个具有从经济学角度看合理的终端和边界条件的边值问题。