浅水波方程的对称约化与精确解

本文研究浅水波(SWW)方程的对称约化与精确解 $$u_{xxxt} + \alpha u_x u_{xt} + \beta u_t u_{xx} - u_{xt} - u_{xx} = 0,\eqno(1)$$ 其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 为任意非零常数,该方程可由所谓的 Boussinesq 近似导出。文献中已讨论过该方程的两个特例,或通过设 $u_x=U$ 得到的等价非局域方程。$\alpha=2\beta$ 的情形由 Ablowitz、Kaup、Newell 和 Segur [{\it Stud.\ Appl.\ Math.}, {\bf53} (1974) 249] 讨论,他们证明了该情形可通过二阶线性问题的反散射求解。此情形及 $\alpha=\beta$ 的情形由 Hirota 和 Satsuma [{\it J.\ Phys.\ Soc.\ Japan}, {\bf40} (1976) 611] 利用 Hirota 双线性技巧研究。此外,$\alpha=\beta$ 的情形可通过三阶线性问题的反散射求解。本文利用经典 Lie 方法及 Bluman 和 Cole [{\it J.\ Math.\ Mech.\/}, {\bf 18} (1969) 1025] 提出的非经典方法,得到对称约化的目录。经典 Lie 方法给出(1)的对称约化,可用第一、第三和第五类 \p\ 超越函数及 Weierstrass 椭圆函数表示。非经典方法给出 $\alpha=\beta$ 时(1)的大量精确解,这些解具有丰富的定性行为。当 $t<0$ 时这些解均类似双孤子解,但当 $t>0$ 时差异显著,可视为两个孤子的非线性叠加:一个以任意速度向左传播,另一个以大小相等、方向相反的速度向右传播。