一类非线性三阶偏微分方程的对称性

本文研究一类非线性三阶偏微分方程 $u_t -\epsilon u_{xxt} +2\kappa u_x= u u_{xxx} +\alpha u u_x +\beta u_x u_{xx}$ 的对称约化，其中 $\epsilon$、$\kappa$、$\alpha$ 和 $\beta$ 为任意常数。经适当重新标度后，方程(1)的三个特例曾出现于文献中。在每种情况下该方程都有不寻常的行波解：Fornberg-Whitham 方程在参数 $\epsilon=1$、$\alpha=-1$、$\beta=3$ 和 $\kappa=\tfr12$ 时，允许存在最大高度波，作为行波解的尖顶极限形式；Rosenau-Hyman 方程在参数 $\epsilon=0$、$\alpha=1$、$\beta=3$ 和 $\kappa=0$ 时，允许存在“紧子”(compacton)孤立波解；Fuchssteiner-Fokas-Camassa-Holm 方程在参数 $\epsilon=1$、$\alpha=-3$ 和 $\beta=2$ 时，具有“峰子”(peakon)孤立波解。利用经典 Lie 方法和 Bluman 与 Cole 提出的非经典方法，获得了方程(1)的对称约化目录。