高维化尔特朗系统全球存在性解的一些进展：用于 modeling Alopecia Areata

本文关注不同 logistic 阻尼效应对化尔特朗系统全球存在性解的影响，该系统最初由 Dobreva 等人提出，用于描述Alopecia Areata 形式中脱发动力学。系统形式为：\n\begin{equation*} \left\{\aligned & u_{t}=\Delta u-\chi_{1}\nabla\cdot(u\nabla w)+w-\mu_{1}u^{r_{1}},&&x\in\Omega,t>0, & v_{t}=\Delta v-\chi_{2}\nabla\cdot(v\nabla w)+w+ruv-\mu_{2}v^{r_{2}},&&x\in\Omega,t>0, & w_{t}=\Delta w+u+v-w,&&x\in\Omega,t>0,\ \endaligned\right. \end{equation*}\n其中，$\Omega\subset\mathbb R^{N}$ $(N\geq3)$ 为光滑边界的有界域，参数满足 $\chi_{i}>0$、$\mu_{i}>0$、$r_{i}\geq2$ $(i=1,2)$ 且 $r>0$。证明当 $r_{1}=r_{2}=2$ 且 $\min\{\mu_{1},\mu_{1}\}>\mu^{\star}$ 或 $r_{i}>2$ $(i=1,2)$ 时，Neumann 型初始边值问题仅有唯一的古典解，且在 $\Omega\times(0,\infty)$ 中全局有界。下界 $\mu^{\ast}=\frac{2(N-2)_{+}}{N}C_{\frac{N}{2}+1}^{\frac{1}{\frac{N}{2}+1}}\max\{\chi_{1},\chi_{2}\}+\left[(\frac{2}{N})^{\frac{2}{N+2}}\frac{N}{N+2}\right]r$，其中 $C_{\frac{N}{2}+1}$ 为最大 Sobolev 正则性对应的正常数。值得注意的是，本文的发现不仅首次为该系统提供弱解理论新见解，还为（广义）logistic 源防止 blow-up 提供了一些新颖的量化影响。