二维具非线性零阶相互作用的趋触系统中有 logistic 源的阻尼效应

本文研究肿瘤溶瘤病毒疗法模型\n\begin{equation}\begin{split} \begin{cases} &u_t = \Delta u - \nabla \cdot (u\nabla v)-uz +\mu u(1-u),& \\[2ex] &v_t = - (u+w)v,& \\[2ex] &w_t = D_w \Delta w - w + uz,& \\[2ex] &z_t = D_z \Delta z - z - uz + \beta w,& \end{cases} \end{split}\end{equation}\n在具有光滑边界的有界域 $\Omega$ $\subset$ $\Bbb{R}^2$ 中，其中 $\mu$、$D_w$、$D_z$ 和 $\beta$ 为给定的正常数。对于任意给定的适当正则初值，允许 $\mu=0$ 的更一般模型对应齐次 Neumann 初边值问题经典解的全局存在性已在 $[$Y. Tao $\&$ M. Winkler, J. Differential Equations $\mathbf{268}$ (2020), 4973-4997$]$ 中得到验证。本文进一步证明：只要 $\mu>0$，上述方程的上述全局经典解是一致有界的；并且，若 $\beta<1$，则该解 $(u, v, w, z)$ 在大时间极限下于拓扑 $L^p(\Omega)\times (L^\infty(\Omega))^3$（任意 $p>1$）中稳定到常数平衡态 $(1, 0, 0, 0)$。