广义SQG方程的粗糙Kraichnan噪声正则化

我们考虑 $\mathbb R^2$ 中参数 $\beta\in (0,1)$ 的广义表面准地转（gSQG）方程，这是一个在涡度形式下介于SQG（$\beta=1$）和2D Euler方程（$\beta=0$）之间插值的主动标量模型。在确定性情形下，弱 $(L^1\cap L^p)$ 值解的存在性已知，但其唯一性仍是开放问题。我们证明，添加Kraichnan类型的粗糙Stratonovich传输噪声可以对该PDE进行正则化，对于初始数据 $\theta_0\in L^1\cap L^p$，在 $p\in[2,\infty]$ 取与噪声的正则化度 $\alpha$ 和速度场的奇异性度 $\beta$ 相关的适当值时，提供解的强存在性和逐路径唯一性；特别地，对于适当的 $\alpha$ 和 $p$，我们可以覆盖任何 $\beta\in (0,1)$ 并能达到一个适当的（“临界”）阈值。该结果在外力 $f\in L^1_t (L^1\cap L^p)$ 存在时同样成立，并且证明了解连续依赖于该问题的数据；此外，它们可以通过消失粘性和正则化近似很好地逼近。利用类似的技术，我们还证明了具有相同噪声、具有随机漂移的二维线性传输方程的适定性。