一类二维流体动力学方程通过输运噪声实现的弱适定性

流体动力学中的一个基本开放问题是：对于某些$p\in [1,\infty)$，具有$(L^1_x\cap L^p_x)$值涡量的二维Euler方程解是否唯一。一个相关的、更具概率色彩的问题是，能否找到一种物理相关的噪声使该PDE正则化。我们朝后一问题的求解取得了实质性进展：对于一类广义随机二维流体动力学方程，我们建立了具有$(L^1_x\cap L^2_x)$值涡量与有限动能的解在分布意义下的适定性；噪声在空间上粗糙且为Kraichnan型，并允许存在确定性强迫$f$。该类方程的主要例子包括对数正则化二维Euler方程与亚耗散二维Navier-Stokes方程。在前一种情形，我们的结果解决了Flandoli提出的开放问题。在后一种情形，对于恰当选取的强迫$f$，对应的无噪声确定性PDE近来已被Albritton与Colombo证明为不适定；因此，噪声的加入真正改善了此类PDE的解理论。