$RP^n$ 上的径向规定数量曲率

X.Xu 和 P.C.Yang [2] 在1993年对径向规定数量曲率的研究给出了在 $S^2$ 上的不存在性结果。后来在1995年，W.Chen 和 C.Li [2] 将不存在性结果推广到更高维。G.Bianchi 和 E.Egnell [1] 提出，在标准共形类 $RP^n$ 中可能存在某些不能作为数量曲率的非负光滑径向函数。然而，在我们的论文中，我们证明了所有在极点处为正的光滑非负径向函数都可以作为规定数量曲率。我们考虑商 $\frac{v_\lambda}{V_\lambda}$ 而非如 [1] 中的差 $v_\lambda-V_\lambda$。这一技巧给出了存在的简洁论证。因此，他们在 [1] 中所述的反例在 $RP^n$ 上不成立。