n-Laplacian平均场方程的量子化性质与尖锐Moser-Onofri不等式

本文关注如下$n$-Laplacian平均场方程 \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \Delta_n u = \lambda e^u} & {\rm in} \ \ \Omega, \\ {\ \ \ \ u = 0} &\ {\rm on}\ \partial\Omega, \end{array}} \right. $$$$ 其中$\Omega$是$\mathbb{R}^n \ (n\geq 2)$的光滑有界域，$- \Delta_n u =-{\rm div}(|\nabla u|^{n-2}\nabla u)$。我们首先建立了上述$n$-Laplacian平均场方程解的量子化性质。作为应用，结合Pohozaev恒等式和容量估计，我们得到了$n$维单位球$B^n:=B^n(0,1)$中Moser-Onofri不等式的尖锐常数$C(n)$，$$\mathop {\inf }\limits_{u \in W_0^{1,n}(B^n)}\frac{1}{ n C_n}\int_{B^n} | \nabla u|^n dx- \ln \int_{B^n} {e^u} dx\geq C(n),$$ 这扩展了Caglioti-Lions-Marchioro-Pulvirenti在文献中的结果到$n$维球的情形。这里$C_n=(\frac{n^2}{n-1})^{n-1} \omega_{n-1}$，$\omega_{n-1}$是$B^n$的表面积测度。对于$\mathbb{R}^n$中一般有界域上的Moser-Onofri不等式，我们应用$n$-调和移植技术给出了Moser-Onofri不等式的最优集中水平，并得到了Moser-Onofri不等式极值存在与不存在的判据。