1-Laplacian 方程的平坦解

对于定义在$\mathbb{R}^N$中有界开子集$\Omega$上的任意$f \in L^N(\Omega)$，我们证明了$1$-Laplacian 方程${-}\mathrm{div}{(\frac{\nabla u}{|\nabla u|})} = f$在$\Omega$中的解$u \in W_0^{1, 1}(\Omega)$在一个正 Lebesgue 测度集上满足$\nabla u = 0$。如果$f \not\in L^N(\Omega)$在弱-$L^{N}$函数的 Marcinkiewicz 空间中具有小范数，或者如果$u$是相关能量泛函的 BV 极小化子，则同样的性质也成立。证明依赖于 Stampacchia 截断方法。