Hardy 类型均衡场方程的定量性质

本文我们考虑以下 Hardy 类型均衡场方程\n\n \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \Delta u-\frac{1}{{(1-|x|^2)^2}} u = \lambda e^u}, & {\rm in\ \ B_1,}\\n { \ \ \ u = 0,} & {\rm on}\ \partial B_1, \end{array}} \right\n\n\[]\n\n其中 $\lambda>0$ 为小数，$B_1$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的标准单位圆。我们应用双曲空间的平移平面方法和双曲空间上热核的精确展开，建立 Hardy 类型均衡场方程解的径向对称性和 Brezis-Merle 引理。同时，我们也推导了 Hardy 类型均衡场方程解的定量结果，这显著改进了 Brezis-Merle 和 Li-Shafrir 所获经典均衡场方程的紧凑性结果。进一步地，应用缩放中的局部 Pohozaev 恒等式、气旋分析和矛盾论证，我们证明当 $\lambda$ 足够接近 0 时，解是唯一的。