洛伦兹-闵可夫斯基空间中预定平均曲率方程的尖锐梯度估计与 $W^{2,q}$ 正则性

我们考虑洛伦兹-闵可夫斯基空间中整体类空超曲面的预定平均曲率方程，即 \begin{equation*} -\operatorname{div}\left(\displaystyle\frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\right)= \rho \quad \hbox{in }\mathbb{R}^N, \end{equation*} 其中 $N\geq 3$。我们首先对具有光滑数据 $\rho$ 的经典解证明了一个新的梯度估计。作为推论，我们得到该方程满足无穷远处齐次边界条件的唯一弱解在 $\mathbb{R}^N$ 中局部属于 $W^{2,q}$ 类且严格类空，只要 $\rho\in L^q(\mathbb{R}^N) \cap L^m(\mathbb{R}^N)$，其中 $q>N$ 且 $m\in[1,\frac{2N}{N+2}]$。