导数非线性薛定谔方程的势阱理论

我们考虑如下导数型非线性薛定谔方程：\begin{equation}i \partial_t u + \partial_x^2 u +i |u|^{2} \partial_x u +b|u|^4u=0 , \quad (t,x) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}, \ b \in\mathbb{R}. \end{equation} 若$b=0$，该方程作为著名的导数非线性薛定谔方程(DNLS)的规范等价形式为人所知，其为质量临界且完全可积。该方程可视为DNLS的推广方程，同时保持质量临界性与哈密顿结构。对于DNLS已知若初值$u_0\in H^1(\mathbb{R})$满足质量条件$\| u_0\|_{L^2}^2 <4\pi$，则对应解整体有界。本文我们首先建立该方程对一般$b\in\mathbb{R}$的质量条件，其精确对应于DNLS的$4\pi$-质量条件，进而从势阱理论视角对其刻画。我们看到质量阈值给出了由孤子生成的势阱结构中的转折点。特别地，我们对DNLS的结果给出了$4\pi$-质量条件与代数孤子两者的刻画。