无限深势阱势附近的非线性薛定谔方程

本文研究无量纲非线性薛定谔方程 \label{eq:abs1} i\Phi_t(x,t) = -\Delta_x\Phi +V_\la(x)\Phi + f(x,\Phi), \quad x\in\R^N,\ t\in\R,\tag{$NLS_\la$} 的驻波解，其中势 $V_\la:\R^N\to\R$ 逼近无限深势阱势 $V_\infty:\R^N\to\R$，即在外部区域 $\R^N\setminus\Om$ 上 $V_\infty=\infty$，在 $\Om$ 上 $V_\infty|_\Om\in L^\infty(\Om)$，且在某种待明确的意义下当 $\la\to\infty$ 时 $V_\la\to V_\infty$。非线性项可以是 Gross-Pitaevskii 型的。当 $\la=\infty$ 时方程 \eqref{eq:abs1} 的解在 $\R^N\setminus\Om$ 上为零并满足 Dirichlet 边界条件，因此它求解 \label{eq:abs2} i\Phi_t(x,t) &= -\Delta_x\Phi +V_\la(x)\Phi + f(x,\Phi), &&\quad x\in\Om,\ t\in\R \\ \Phi(x,t) &= 0 &&\quad x\in\pa\Om,\ t\in\R. \tag{$NLS_\infty$}。我们研究无限深势阱势方程 \eqref{eq:abs2} 的解 $\Phi_\infty$ 何时能产生大 $\la\gg1$ 下有限深势阱势方程 \eqref{eq:abs1} 的邻近解 $\Phi_\la$。将 \eqref{eq:abs2} 视为 \eqref{eq:abs1} 的奇异极限，我们证明了一类奇异延拓型结果。